dy/dx =sin(2y) +e^(-x), ( ...+e^(-bx) )

1.0)dy/dx =sin(2y) +e^(-x)
1.1)dy/dx =2(cosy)^2 tany +e^(-x)
1.2)1/(cosy)^2 dy/dx =2tany +e^(-x) /(cosy)^2
1.3)d(tany)/dx =2tany +e^(-x) (1 +(tany)^2)

1.4)tany --> z
1.4.1)dz/dx =2z +e^(-x) (z^2 +1)
1.5)dz/dx -e^(-x) (z^2 +1) -2z =0

1.6)x --> f(t)
1.6.1)1/f’(t) dz/dt -e^(-f(t)) (z^2 +1) -2z =0
1.6.2)dz/dt -e^(-f) f’ (z^2 +1) -2f’ z =0
1.7)-e^(-f) f’ --> 1 ( f =-logt (=x) )
1.7.1)dz/dt +z^2 +1 +2/t z =0

1.8)z --> 1/w dw/dt
1.8.1)1/w d^2w/dt^2 -1/w^2 (dw/dt)^2 +1/w^2 (dw/dt)^2 +1 +2/t 1/w dw/dt =0
1.9)d^2w/dt^2 +2/t dw/dt +w =0

1.10)w --> t^n v
1.10.1)t^n d^2v/dt^2 +2nt^(n-1) dv/dt +n(n-1)t^(n-2) v
+2/t (t^n dv/dt +nt^(n-1) v)
+t^n v =0
1.11)2n +2 --> 0 (n=-1)
1.11.1)d^2v/dt^2 +v =0

1.12)v =c2 cos(t +c1)
1.12.1)w =c2/t cos(t +c1)
1.12.2)z =-tan(t +c1) -1/t

1.13)tany =-tan(e^(-x) +c1) -e^x



1.20)Others



2.0)dy/dx =sin(2y) +e^(-bx)

2.5)dz/dx -e^(-bx) (z^2 +1) -2z =0

2.7)-e^(-bf) f’ --> 1 ( f =-1/b log(bt) (=x) )
2.7.1)dz/dt +z^2 +1 +2/(bt) z =0

2.8)z --> 1/w dw/dt
2.8.1)1/w d^2w/dt^2 -1/w^2 (dw/dt)^2 +1/w^2 (dw/dt)^2 +1 +2/(bt) 1/w dw/dt =0
2.9)d^2w/dt^2 +2/(bt) dw/dt +w =0

2.10)w --> t^n v
2.10.1)t^n d^2v/dt^2 +2nt^(n-1) dv/dt +n(n-1)t^(n-2) v
+2/(bt) (t^n dv/dt +nt^(n-1) v)
+t^n v =0
2.11)2n +2/b --> 1 (n=1/2 -1/b)
2.11.1)t^2 d^2v/dt^2 +tdv/dt +(t^2 -n^2)v =0

2.12)v =c1 Jn(t) +c2 Yn(t)
2.12.1)w =t^n ( c1 Jn(t) +c2 Yn(t) )
2.12.2)z =(Jn’(t) +C Yn’(t)) /(Jn(t) +C Yn(t)) +n/t

2.13)tany =(Jn’(t) +C Yn’(t)) /(Jn(t) +C Yn(t)) +n/t
2.13.1)t =1/b e^(-bx)



2.20)dy/dx +a1 y^2 +a2 x^n =0



3.0)dy1/dx1 =a1 sin(a2 y1) +a3 e^(a4 x1)

3.1)y1 --> b1 y, x1 --> b3 x +b4
3.1.1)dy/dx =(b3/b1) a1 sin(a2 b1 y) +(b3/b1) a3 e^(a4 (b3 x +b4))
3.2) (b3/b1) a1 --> 1, a2 b1 --> 2, (b3/b1) a3 e^(a4 b4) --> 1
3.2.1)b1 =2/a2, b3 =b1/a1, b4 =1/a4 log(b1/(b3 a3))

3.3)dy/dx =sin(2y) +e^(-bx) --> (2.0)

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